Laureato in giurisprudenza alla Sapienza nel 1840, era già dal 1834 vicino alla Carboneria, e dal 1837 era noto alla polizia pontificia come amico di esponenti progressisti e liberali. Nella notte tra il 27 e il 28 aprile 1841 fu arrestato come uno dei capi di una cospirazione volta all'organizzazione di una insurrezione nell'Italia centrale. Rimase in prigione a lungo, prima di venire condannato all'ergastolo dalla Sacra Consulta il 21 agosto 1845.Fu liberato con l'amnistia succeduta all'elezione a pontefice di Pio IX, e riprese l'attività sovversiva. Il 21 gennaio 1849 fu eletto rappresentante del popolo nell'Assemblea Costituente della nascente Repubblica Romana. Il 9 febbraio votò per la proclamazione della Repubblica e fu scelto come membro del Comitato esecutivo con Carlo Armellini e Aurelio Saliceti (Primo Triumvirato). Dall'8 marzo ebbe l'interim dei ministeri del Commercio e Belle Arti e dei Lavori Pubblici, deleghe che conservò anche dopo la formazione del nuovo governo guidato da Giuseppe Mazzini.Dopo la caduta della Repubblica, munito di passaporto britannico andò prima a Ginevra e poi a Losanna, dove soggiornò con Mazzini e Saffi. Successivamente, costretti ad abbandonare la Svizzera per le pressioni austriache sul governo elvetico, i patrioti esiliarono a Londra. Assai vicino a Mazzini, se ne allontanò dopo il moto del 1853, pur restando fedele all'idea repubblicana.Montecchi rientrò in Italia nel 1859, venne arrestato a Livorno per ordine di Bettino Ricasoli e successivamente invitato a lasciare la Toscana. Dopo un breve passaggio a Londra tornò definitivamente in Italia e dedicò l'ultima parte della sua vita all'obiettivo dell'annessione di Roma al nuovo Stato italiano.Nel 1862 fu eletto alla Camera. Il 22 settembre. 1870 fu membro di quella democratica Giunta di governo di Roma, che fu subito sciolta dal generale Cadorna.Il 13 novembre 1870 fu eletto al primo consiglio comunale di Roma italiana. Tre mesi dopo, mentre era a Londra per affari, morì improvvisamente.