Fu allievo nel Real Collegio Militare della Nunziatella di Napoli nel corso 1832 - 1840. Nominato alfiere nell'artiglieria dell'Esercito del Regno delle Due Sicilie, fu successivamente promosso primo tenente nel 1844. Nel 1848 venne aggregato alle due divisioni dell'Armata di Terra del Regno delle Due Sicilie inviate da Ferdinando II contro l'Austria, nel contesto della prima guerra di indipendenza. Quando, il 25 maggio, fu ricevuto l'ordine di rientrare a Napoli, gran parte dell'esercito si rifiutò di seguire il suo comandante, generale Guglielmo Pepe. Quest'ultimo l'8 giugno passò il Po, seguito soltanto da artiglieria (con Cosenz), genio e dai reparti dei volontari.Il gruppo comprendeva altri ufficiali quali Carlo e Luigi Mezzacapo, Ulloa, Boldoni, mentre Rosaroll sarebbe giunto alcuni giorni dopo, proveniente dalla Battaglia di Goito. Il 13 giugno 1848 raggiungevano Venezia e Cosenz venne arruolato nell'artiglieria dell'Esercito Veneziano, con il grado di capitano.
Sotto la guida di Ulloa, Cosenz partecipò, mostrando particolare valore, alla eroica difesa del Forte Marghera. Come comandante delle artiglierie dei bastioni egli seppe resistere dall'inizio dell'assalto, il 4 maggio, e per le tre settimane successive. Dopo la caduta del forte si ritirarono verso Venezia e, dopo aver distrutto cinque arcate del ponte ferroviario, si ridussero nell'isola di San Secondo: qui Cosenz rimase due volte ferito.
Alla caduta della città, il 24 agosto 1849, Cosenz fu esule in Francia, senza incarichi ufficiali. Avvicinato da esponenti del cosiddetto “partito Murattiano”, che militava per un Regno di Napoli liberale ma separato, egli prese definitivamente partito per il Mazzini, ovvero per la causa dell'unificazione nazionale. Negli anni cinquanta fu coinvolto nella preparazione alle ultime iniziative insurrezionali mazziniane: nel gennaio del 1853 partecipò a Locarno ad una riunione preparatoria della insurrezione di Milano del 6 febbraio 1853. Non pago, nel 1857 partecipò alla preparazione dell'ultimissima iniziativa rivoluzionaria in Italia, prima della seconda guerra di indipendenza, cioè la spedizione di Pisacane, già suo compagno di corso alla Nunziatella, a Sapri.
Alla luce dei due terribili fallimenti, venne cooptato, come un po' tutto il movimento, nello sforzo patriottico e monarchico di Cavour: dal gennaio 1859, alla vigilia della guerra, Cosenz era in Piemonte, dove fu responsabile, sin dall'inizio e per nomina del ministero dell'interno, della organizzazione dei Cacciatori delle Alpi. Ad aprile ebbe il comando del 1º reggimento, che condusse alle battaglie di Varese, San Fermo e Treponti. Comandante della brigata era Garibaldi.
Il 12 luglio 1859, il giorno dopo l'Armistizio di Villafranca, fu insignito del titolo di Ufficiale dell'Ordine militare di Savoia. Nel settembre 1859 entrava come colonnello nell'Esercito Sardo, e nel marzo 1860, con lo stesso grado nel Regio Esercito.Subito chiedeva la dispensa dal servizio, per seguire Garibaldi nella spedizione dei Mille col grado di colonnello brigadiere. Giunse in Sicilia con la terza spedizione di rinforzo (dopo la prima di Garibaldi e la seconda rinforzo di Medici), con 800 volontari sbarcati il 5 luglio a Palermo. Alla battaglia di Milazzo, dove ebbe una parte determinante nel fermare l'attacco borbonico sulla sinistra e nel contrattaccare sino a chiudere il nemico nelle antiche mura, rimase ferito al collo.
Il 23 agosto, sbarcato in Calabria, guidò la colonna che permise di circondare e costringere alla resa due brigate borboniche a Villa San Giovanni e Piale. Il 30 agosto ripeté la manovra costringendo alla resa i 10.000 soldati borbonici di Ghio all'altipiano di Soveria Mannelli. Con il grado di maggior generale comandante di divisione, entrò a Napoli al seguito del Dittatore. Lì venne nominato ministro della guerra del governo dittatoriale e prese parte all'organizzazione del plebiscito.
L'8 settembre 1860 firmava, da Napoli, nella sua qualità di ministro della guerra del governo dittatoriale, il famoso proclama che regolava il passaggio dei soldati del Regno delle due Sicilie, conservando i gradi. Con particolare riguardo agli ufficiali che si fossero presentati con le truppe al seguito. L'intelligenza politica di Cosenz può essere capita tenendo conto che la battaglia del Volturno si sarebbe combattuta solo il 1º ottobre successivo. Nell'ottobre, negli ultimi giorni della Dittatura, Garibaldi gli conferì il grado di tenente generale. Nel marzo 1862, con lo stesso grado, veniva trasferito nell'esercito italiano, ma lasciato a disposizione del ministro della guerra, in quanto nominato Prefetto di Bari. Ricoprì tale carica dal 23 marzo 1862 al 17 agosto 1862, in corrispondenza della fase più acuta del brigantaggio nelle Puglie, durata, peraltro, sino almeno all'autunno del 1863.
Cosenz seppe ottenere qualche successo, come, il 9 maggio 1862, la cattura della banda di Ninco Nanco.Nel 1866, nel corso della terza guerra di indipendenza guidò la 6ª divisione. Nel 1870, alla presa di Roma, fu generale di divisione (la 11ª divisione) con Bixio, alle dipendenze del generale Raffaele Cadorna. Qui gli venne affidato il comando della divisione militare territoriale di Roma, dove rimase, sino a che, nel 1879, venne incaricato del comando del I Corpo d'armata Torino.Nel 1881, fu nominato Presidente, poi Capo dello Stato Maggiore.
Deputato al parlamento di Torino dal marzo 1860, fu rieletto altre quattro volte alla Camera dei Deputati (1861 Pesaro, 1866 Forlì, 1867 Napoli 4, 1871 Pieve di Sacco). Il 9 novembre 1872 venne nominato senatore da Vittorio Emanuele II di Savoia.
È sepolto nel Quadriportico del Verano in una tomba monumentale, realizzata quindici anni dopo la sua morte, dallo scultore Carlo Panati (1889-1923), che esalta le virtù eroiche del generale, con la figura allegorica della Storia, che depone un ramo di quercia sotto il busto in bronzo che lo ritrae. In basso il cannone con la scritta “Milazzo” ricorda la sua partecipazione all’impresa dei Mille.